domingo, 1 de junio de 2014

BLOQUE 4 TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICAS. MATEMÁTICAS FINANCIER



La Matemática Financiera es el campo de la matemáticas aplicada, que analiza, valora y calcula materias relacionadas con los mercados financieros, y especialmente, el valor del dinero en el tiempo.
las matemáticas financieras se ocuparán del cálculo del valor, tipo de interés o rentabilidad de los distintos productos que existen en los mercados financieros (depósitos, bonos, préstamos, descuento de papel, valoración de acciones, cálculos sobre seguros, etc). Para presentarlas, se seguirá un proceso secuencial desde lo más sencillo, el tipo de interés simple, hasta los cálculos más complejos, que consistirán en el valor actual o futuro de rentas temporales y/o infinitas. Por tanto, en el estudio de las matemáticas financieras.


INTERES SIMPLE

En primer lugar debemos tener claro que es el interés en este contexto, que se puede definir como la cantidad (normalmente expresada el porcentaje o tasa) me mide la relación de intercambio entre el valor del dinero en dos momentos determinados de tiempo.
Cuando una persona (prestamista) le presta a otra (prestatario) un dinero hoy, espera que en un futuro  el prestatario se lo devuelva, pero que además le de una cantidad adicional en contraprestación, esto es el interés. Que, volvemos a recordar, suele expresarse en porcentaje.
Para entender el concepto de interés simple y compuesto, sin duda, la mejor forma es atender a unos ejemplos ( interes compuesto). Supongamos un préstamo de 10.000 durante 1 año que genera un interés anual del 5%. No será lo mismo que esos intereses se paguen en dos veces (cada seis meses), frente a que se paguen de una vez al final. En el primer caso, el prestamista recibirá el dinero en dos veces, primero 250 a los seis meses y después 10.250 al final del año. Por su parte, en el segundo caso, el prestamista recibirá todo el dinero a la vez 10.500 al final del año. Pero donde está la diferencia, pues en que en el primer caso el prestamista podrá invertir esos 250 que cobra previamente y obtener una rentabilidad, por lo que, si suponemos que también los puede invertir a un 5% anual durante los seis meses que quedan, obtendría 250*5%/2=6,25. Por tanto, en el primer caso el prestamista obtendría al final del año 10.000+250+250+6,25=10.506,25.
Ese 5% del enunciado del ejemplo será lo que se denomina interés simple, mientras que el interés compuesto será, en este caso, el interés equivalente que se obtiene por el hecho de reinvertir los cobros intermedios. Así, podríamos calcular el interés compuesto con una regla de tres:
10.500 --> 5%
10.506,25 --> X = 5,0625%, ya que el interés simple no es del 5% anual sino del 5% pagadero semestralmente que no es lo mismo.
Esta diferencia, que puede parecer pequeña, cuando se considera en operaciones de mucho volumen o mucha duración puede provocar diferencias sustanciales.

Fórmula Interés Simple 

Interés = Cantidad x Tipo de Interés x Plazo
Interés.- Como el importe que se percibirá o pagará en contraprestación
Cantidad.- Como el importe sobre el que se pagará o cobrará intereses
Tipo de interés.- Como la tasa o porcentaje que se cobrará o pagará si la operación durase un año
Plazo.- Como la duración de la operación, expresado en cantidad de años.


INTERES COMPUESTO.






Al igual que con el interés simple, donde ya pusimos un primer ejemplo. Consideramos que la mejor manera de entender la necesidad y funcionamiento del interés compuesto es mediante un ejemplo. Imaginemos que nos ofrecen la opción de invertir 10.000 en dos depósitos a 3 años. El primer depósito para un 10% te tipo de interés al año y paga esos intereses al final de cada año. Por su parte, el segundo depósito pagará un 10% anual de tipo de interés, pero en lugar de pagar los intereses al final de cada año, los pagará todos al final de los tres años.
Si ambos depósitos pagan el mismo tipo de interés, parecería lógico pensar que la ganancia al final debería ser la misma, pero, ¿es realmente así?. Analicemos cada caso.
1- Si cobraremos 1.000 al final de cada año, los intereses del primer año serán 1.000, pero y los del segundo. El segundo año volveremos a cobrar 1.000 provenientes del depósito de 10.000, pero también podremos cobrar intereses de los 1.000 de intereses que ya tenemos en nuestro poder. Si esta cantidad la invertimos también al 10% obtendríamos 100 adicionales por lo que los intereses del segundo año serían 1.100 y no 1.000. Lo mismo sucedería en el tercer año, por un lago cobraríamos los 1.000 del depósito, pero aún nos faltaría por contabilizar los intereses por invertir los intereses de los dos años anteriores que, recordemos, ascendía a 2.100. Así, el 10% de 2.100 serían 210 adicionales. Por tanto, al cabo de los tres años tendríamos 10.000+1.000+1.000+100+1.000+210=13.310.
2- En el caso del segundo depósito, los intereses se pagaban todos al final. Si utilizásemos la formulación del interés simple, la cantidad de intereses sería: 10.000 x 10% x 3 = 3.000 por lo que al final tendríamos 13.000 que es menos que en el caso 1. Para resolver esta diferencia, en aquellas operaciones que generan intereses con una duración superior a un año (como ya mencionamos e el interés simple), el cálculo de intereses utiliza la formulación del interés compuesto que tiene en consideración los intereses  que generan los pagos intermedios.
Interés=10.000*(1+10%)3=3.310, que sumados al principal darán los mismos 13.310 que en el caso 1.

Fórmula Interés Compuesto

Interés = Cantidad x (1 + Tipo de Interés) Plazo -1
Interés.- Como el importe que se percibirá o pagará en contraprestación
Cantidad.- Como el importe sobre el que se pagará o cobrará intereses
Tipo de interés.- Como la tasa o porcentaje que se cobrará o pagará si la operación durase un año
Plazo.- Como la duración de la operación, expresado en cantidad de años.

VALOR FUTURO
Poseer un dólar o un euro hoy no vale lo mismo que poseerlo dentro de un año. Si dispusiera ahora mismo de él, podría invertirlo, ganar un interés y transcurrido un año usted tendría algo más que un euro.valor futuroPero, porque se utiliza el interés compuesto y no el interés simple. Como ya vimos en la explicación del interés compuesto, este tiene en consideración los intereses que generarán los propios intereses intermedios. Esta consideración, es imprescindible para poder diferenciar operaciones con pagos intermedios frente a operaciones que no los tienen. Al calcular el valor futuro de una cantidad, no se producirán pagos intermedios anuales, por lo que deberemos utilizar el interés compuesto.
Una sencilla forma de entender porque utilizar uno u otro, es calcular el valor futuro de una misma cantidad utilizando ambos intereses. El valor futuro utilizando el interés simple crecerá linealmente, mientras que el valor futuro calculado utilizando el interés compuesto lo hará de forma creciente y exponencial ya que, la no recepción de pagos intermedios hará que los intereses se calculen, cada año, sobre una cantidad mayor.

valor futuro










Fórmula del Valor Futuro

VFn = VA x (1+k)n
VF.- Valor futuro
VA.- Valor presente o actual
k.- Tipo de interés
n.- plazo, normalmente expresado en años.

VALOR PRESENTE
Igual que en el apartado anterior obtuvimos el valor futuro de una cantidad presente, a través de calcular cuanto podríamos obtener de ella si la invertíamos hasta una fecha determinada, también podemos obtener el valor presente de una cantidad que esperamos recibir en algún momento del futuro. valor presenteEl cálculo sería a la inversa, si antes añadíamos a la cantidad los intereses generados, en este caso se los descontaremos/quitaremos.
Por ejemplo, si vamos a recibir 1.000 dentro de tres años y queremos saber cuanto valen hoy, deberemos descontar los intereses que se generarán desde hoy hasta dentro de tres años. Si el tipo de interés es del 4% anual en operaciones a 3 años, responderemos a la pregunta ¿Qué cantidad debo invertir hoy para tener 1.000 dentro de tres años? En este caso 889, por lo que, si no necesitásemos, podríamos recibir esta cantidad en lugar de los 1.000 dentro de 3 años.
Al contrario que en el valor futuro, en este caso a incógnita no el valor futuro VF sino el actual o presente VA.

Fórmula valor presente

VA = VFn / (1+k)n
VF.- Valor futuro
VA.- Valor presente o actual
k.- Tipo de interés
n.- plazo, normalmente expresado en años.
Si comparamos con la fórmula del valor futuro, únicamente estamos despejando el valor presente, no siendo una nueva fórmula como tal.
























RENTA TEMPORAL

El siguiente paso en la matemáticas financieras, es calcular el valor de una renta. Con objeto de su estudio, distinguiremos dos tres casos por orden de complejidad de sus cálculos, de más complejo a menos complejo:

  1. Renta temporal en que las candidades o flujos NO tienen una relación de proporcionalidad (la renta de cada periodo es distinta al anterior y no siguen ningún patrón). Habituales en los flujos esperados del beneficio de una empresa,...
  2. Rentas temporales en que las cantidades o flujos SI tienen una relación de proporcionalidad (la renta de cada periodo es igual al anterior o sigue un patrón de crecimiento o decrecimiento). Habituales en los flujos esperados de deuda pública, bonos, depósitos, ...
  3. Rentas infinitas en que las cantidades o flujos SI tienen una relación de proporcionalidad (la renta de cada periodo es igual al anterior o sigue un patrón de crecimiento o decrecimiento). Habituales para la valoración inversiones sin vencimiento como acciones, rentas vitalícias, pensiones,...
El primer caso, el más genérico, corresponde, como ya hemos avanzado, a una renta de una duración determinada, en que las cantidades percibidas son distintas y sin relación entre ellas. Estas, nos permitirán explicar el concepto y posteriormente relacionarlas con los casos 2 y 3 que son casos específicos de este.
Antes de comenzar a analizar cada caso, si debemos precisar que, en estos casos, siempre utilizaremos el interés compuesto. También, debemos señalar que es especialmente importante para evitar errores, y antes de comenzar ningún cálculo, hacer la representación gráfica de los flujos, que consistirá en hacer una linea en la que indicaremos en que momento temporal se percibe cada cantidad. Esta herramienta nos permitirá asegurarnos cuantos periodos debemos descontar cada una de las cantidades.
renta temporal periodicaSiguiendo la imagen de la derecha, imaginemos una renta de las cantidades Q1, Q2, Q3,... que se cobran al final de cada periodo, 1, 2, 3,... El valor presente de esa renta temporal, consistirá simplemente en calcular el valor presente de cada una de las cantidades que componen la renta, tal y como representa la fórmula.
A partir de este sencillo ejemplo, podremos construir casos más complejos donde las cantidades tampoco sigan un patrón temporal,renta temporal no periodicasino que se cobren en distintos momentos del tiempo, pero la base seguirá siendo la misma; el valor presente de las cantidades que componen la renta. Un ejemplo sería esta segunda imagen, donde los flujos no se producen al final de cada periodo, sino que se producen, Q1 a la mitad del primer periodo, Q2 entre el 2º y el 3º y Q3 al final del 3º. Además, se podría seguir complicando, considerando que el tipo de interés anual es distinto para cada cantidad, ya que no es lo mismo una operación aun año que a tres años (si por un depósito a 1 año pedimos un 5% anual, para un depósito a 3 años normalmente pediremos más de un 5% anual).
Como vemos, la parte más importante para el cálculo del valor de una renta, es comprender el momento temporal en que cada cantidad se produce, que es la base para conocer por cuanto tiempo deberemos retraerlo hasta el momento presente.



Fórmula renta temporal

Teniendo en cuenta el caso más genérico, podría expresarse como sigue:
donde
VA.- Valor actual o presente de la renta considerada
Q1, Q2, Q3,... serían las cantidades que componen la renta
n1, n2, n3,... serían el momento temporal en que se recibe cada cantidad de la renta
k1, k2, k3,... serían los tipos de interés para cada periodo
Además de los casos expuestos, donde hemos calculado el valor actual o presente, puede ser necesario el cálculo del valor futuro, como sería el caso del valor futuro de un plan de ahorro, por ejemplo, al que aportamos una cantidad mensual, trimestral o anual, que nos permitirá conocer que cantidad tendremos al final/vencimiento del producto. En este caso, en lugar de dividir cada flujo por el interés compuesto hasta el momento presente, únicamente deberemos multiplicar por ese interés compuesto hasta el momento futuro que deseemos.





RENTA INFINITA
Este, es el último caso particular de rentas que analizaremos, y consiste en una renta que cobraremos por duración infinita (un buen ejemplo serían las pensiones de jubilación, pero también productos comercializados por las aseguradoras aunque menos conocidos). En este caso, también distinguiremos entre renta constante y creciente (por ejemplo rentas actualizadas con la inflación).
renta infinita constantePara el caso de las rentas constantes nos encontraríamos en la figura de la derecha. Al ser infinitos periodos, y sustituyendo en la misma fórmula que utilizamos para las rentas temporales constantes, tendríamos que (1+k)∞ =0 lo que nos daría la expresión final.
renta infinita crecienteEn el segundo caso, en el que las rentas crecen siguiendo una proporción g, sucedería algo similar, desapareciendo la mayor parte del numerador, tal y como se puede apreciar en la figura de la derecha.
Por último, señalar también que, al igual que en las rentas temporales, no siempre las rentas se producen al final de cada periodo, sino que estas pueden producirse al principio de cada uno. En este caso, el valor actual/presente calculado con las fórmulas anteriores sería el valor calculado en el momento 1, no en el momento 0, por lo que únicamente deberíamos multiplicar el valor actual, así calculado, por (1+k) para anticipar un periodo toda la cantidad.

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BLOQUE 4 PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLE ALEATORIA CONTINUA.
En teoría de la probabilidad una distribución de probabilidad se llama continua si su función de distribución es continua. Puesto que la función de distribución de una variable aleatoria X viene dada por F_X(x) = P( X \le x ), la definición implica que en una distribución de probabilidad continua X se cumple P[X = a] = 0 para todo número real a, esto es, la probabilidad de que X tome el valor a es cero para cualquier valor de a. Si la distribución de X es continua, se llama a X variable aleatoria continua.
En las distribuciones de probabilidad continuas, la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:
F(x) = P( X \le x ) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\, dt
Mientras que en una distribución de probabilidad discreta un suceso con probabilidad cero es imposible, no se da el caso en una variable aleatoria continua. Por ejemplo, si se mide la anchura de una hoja de roble, el resultado 3,5 cm es posible, pero tiene probabilidad cero porque hay infinitos valores posibles entre 3 cm y 4 cm. Cada uno de esos valores individuales tiene probabilidad cero, aunque la probabilidad de ese intervalo no lo es. Esta aparente paradoja se resuelve por el hecho de que la probabilidad de que X tome algún valor en un conjunto infinito como un intervalo, no puede calcularse mediante la adición simple de probabilidades de valores individuales. Formalmente, cada valor tiene una probabilidad infinitesimal que estadísticamente equivale a cero.
Existe una definición alternativa más rigurosa en la que el término "distribución de probabilidad continua" se reserva a distribuciones que tienen función de densidad de probabilidad. Estas funciones se llaman, con más precisión, variables aleatorias absolutamente continuas (véase el Teorema de Radon-Nikodym). Para una variable aleatoria X absolutamente continua es equivalente decir que la probabilidad P[X = a] = 0 para todo número real a, en virtud de que hay un incontables conjuntos de medida de Lebesgue cero (por ejemplo, el conjunto de Cantor).
Una variable aleatoria con la distribución de Cantor es continua de acuerdo con la primera definición, pero según la segunda, no es absolutamente continua. Tampoco es discreta, ni una media ponderada de variables discretas y absolutamente continuas.
En aplicaciones prácticas, las variables aleatorias a menudo ofrece una distribución discreta o absolutamente continua, aunque también aparezcan de forma natural mezclas de los dos tipos.
DEFINICIÓN.
Para una variable continua hay infinitos valores posibles de la variable y entre cada dos de ellos se pueden definir infinitos valores más. En estas condiciones no es posible deducir la probabilidad de un valor puntual de la variable; como se puede hacer en el caso de variables discretas, pero es posible calcular la probabilidad acumulada hasta un cierto valor (función de distribución de probabilidad), y se puede analizar como cambia la probabilidad acumulada en cada punto (estos cambios no son probabilidades sino otro concepto: la función de densidad.
En el caso de variable continua la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:
F(x) = P( X \le x ) = \int_{-\infty}^{x} f(x)\, dx
Sea  X  una variable continua, una distribución de probabilidad o función de densidad de probabilidad (FDP) de  X  es una función f(x) tal que, para cualesquiera dos números  a  y  b  siendo  a \le b .

P( a \le X \le b )= \int_{a}^{b} f(x)\, dx

La gráfica de  f(x)  se conoce a veces como curva de densidad, la probabilidad de que  X  tome un valor en el intervalo  [a,b]  es el área bajo la curva de la función de densidad; así, la función mide concentración de probabilidad alrededor de los valores de una variable aleatoria continua.


P(a \le X \le b)= área bajo la curva de  f(x)  entre  a  y  b

Para que  f(x)  sea una FDP ( FDP=f(x) ) legítima, debe satisfacer las siguientes dos condiciones:

1.  f(x)  \ge \; 0 para toda x.

2.  \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx=1

Ya que la probabilidad es siempre un número positivo, la FDP es una función no decreciente que cumple:


1. \lim_{x \to \infty} F(x) = 1. Es decir, la probabilidad de todo el espacio muestral es 1.

2. \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0. Es decir, la probabilidad del suceso nulo es cero.

Algunas FDP están declaradas en rangos de -\infty \; a  \infty \;, como la de la distribución normal.


DISTRIBUCIÓN NORMAL.
En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.[cita requerida]
La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el gráfico de una función gaussiana.
La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.
De hecho, la estadística descriptiva sólo permite describir un fenómeno, sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea conocido comométodo correlacional.
La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.
Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal son:
La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las medias muestrales es aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal.1 Además, la distribución normal maximiza la entropía entre todas las distribuciones con media y varianzaconocidas, lo cual la convierte en la elección natural de la distribución subyacente a una lista de datos resumidos en términos de media muestral y varianza. La distribución normal es la más extendida en estadística y muchos tests estadísticos están basados en una supuesta "normalidad".
En probabilidad, la distribución normal aparece como el límite de varias distribuciones de probabilidad continuas ydiscretas.

HISTORIA.
La distribución normal fue presentada por primera vez por Abraham de Moivre en un artículo del año 1733,2 que fue reimpreso en la segunda edición de su The Doctrine of Chances, de 1738, en el contexto de cierta aproximación de la distribución binomial para grandes valores de n. Su resultado fue ampliado por Laplace en su libro Teoría analítica de las probabilidades (1812), y en la actualidad se llama Teorema de De Moivre-Laplace.
Laplace usó la distribución normal en el análisis de errores de experimentos. El importante método de mínimos cuadrados fue introducido porLegendre en 1805. Gauss, que afirmaba haber usado el método desde 1794, lo justificó rigurosamente en 1809 asumiendo una distribución normal de los errores. El nombre de Gauss se ha asociado a esta distribución porque la usó con profusión cuando analizaba datos astronómicos3y algunos autores le atribuyen un descubrimiento independiente del de De Moivre.4 Esta atribución del nombre de la distribución a una persona distinta de su primer descubridor es un claro ejemplo de la Ley de Stigler.
El nombre de "campana" viene de Esprit Jouffret que usó el término "bell surface" (superficie campana) por primera vez en 1872 para unadistribución normal bivariante de componentes independientes. El nombre de "distribución normal" fue otorgado independientemente por Charles S. Peirce, Francis Galton y Wilhelm Lexis hacia 1875.[cita requerida] A pesar de esta terminología, otras distribuciones de probabilidad podrían ser más apropiadas en determinados contextos; véase la discusión sobre ocurrencia, más abajo.

DEFINICIÓN.

La función de distribución de la distribución normal está definida como sigue:
\begin{align} \Phi_{\mu,\sigma^2}(x) &{}=\int_{-\infty}^x\varphi_{\mu,\sigma^2}(u)\,du\\ &{}=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{(u - \mu)^2}{2\sigma^2}}\, du ,\quad x\in\mathbb{R}\\ \end{align}
Por tanto, la función de distribución de la normal estándar es:
\Phi(x) = \Phi_{0,1}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{u^2}{2}} \, du, \quad x\in\mathbb{R}.
Esta función de distribución puede expresarse en términos de una función especial llamada función error de la siguiente forma:
\Phi(x) =\frac{1}{2} \Bigl[ 1 + \operatorname{erf} \Bigl( \frac{x}{\sqrt{2}} \Bigr) \Bigr], \quad x\in\mathbb{R},
y la propia función de distribución puede, por consiguiente, expresarse así:
\Phi_{\mu,\sigma^2}(x) =\frac{1}{2} \Bigl[ 1 + \operatorname{erf} \Bigl( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}} \Bigr) \Bigr], \quad x\in\mathbb{R}.
El complemento de la función de distribución de la normal estándar, 1 - \Phi(x), se denota con frecuencia Q(x), y es referida, a veces, como simplemente función Q, especialmente en textos de ingeniería.5 6 Esto representa la cola de probabilidad de la distribución gaussiana. También se usan ocasionalmente otras definiciones de la función Q, las cuales son todas ellas transformaciones simples de \Phi.7
La inversa de la función de distribución de la normal estándar (función cuantil) puede expresarse en términos de la inversa de la función de error:
\Phi^{-1}(p) = \sqrt2 \;\operatorname{erf}^{-1} (2p - 1), \quad p\in(0,1),
y la inversa de la función de distribución puede, por consiguiente, expresarse como:
\Phi_{\mu,\sigma^2}^{-1}(p) = \mu + \sigma\Phi^{-1}(p) = \mu + \sigma\sqrt2 \; \operatorname{erf}^{-1}(2p - 1), \quad p\in(0,1).
Esta función cuantil se llama a veces la función probit. No hay una primitiva elemental para la función probit. Esto no quiere decir meramente que no se conoce, sino que se ha probado la inexistencia de tal función. Existen varios métodos exactos para aproximar la función cuantil mediante la distribución normal (véase función cuantil).
Los valores Φ(x) pueden aproximarse con mucha precisión por distintos métodos, tales como integración numérica, series de Taylor, series asintóticas y fracciones continuas.

Límite inferior y superior estrictos para la función de distribución

Para grandes valores de x la función de distribución de la normal estándar \scriptstyle\Phi(x) es muy próxima a 1 y \scriptstyle\Phi(-x)\,{=}\,1\,{-}\,\Phi(x) está muy cerca de 0. Los límites elementales
\frac{x}{1+x^2}\varphi(x)<1-\Phi(x)<\frac{\varphi(x)}{x}, \qquad x>0,
en términos de la densidad \scriptstyle\varphi son útiles.
Usando el cambio de variable v = u²/2, el límite superior se obtiene como sigue:
\begin{align} 1-\Phi(x) &=\int_x^\infty\varphi(u)\,du\\ &<\int_x^\infty\frac ux\varphi(u)\,du =\int_{x^2/2}^\infty\frac{e^{-v}}{x\sqrt{2\pi}}\,dv =-\biggl.\frac{e^{-v}}{x\sqrt{2\pi}}\biggr|_{x^2/2}^\infty =\frac{\varphi(x)}{x}. \end{align}
De forma similar, usando \scriptstyle\varphi'(u)\,{=}\,-u\,\varphi(u) y la regla del cociente,
\begin{align} \Bigl(1+\frac1{x^2}\Bigr)(1-\Phi(x))&=\Bigl(1+\frac1{x^2}\Bigr)\int_x^\infty\varphi(u)\,du\\ &=\int_x^\infty \Bigl(1+\frac1{x^2}\Bigr)\varphi(u)\,du\\ &>\int_x^\infty \Bigl(1+\frac1{u^2}\Bigr)\varphi(u)\,du =-\biggl.\frac{\varphi(u)}u\biggr|_x^\infty =\frac{\varphi(x)}x. \end{align}
Resolviendo para \scriptstyle 1\,{-}\,\Phi(x)\, proporciona el límite inferior.

Funciones generadoras

Función generadora de momentos

La función generadora de momentos se define como la esperanza de e(tX). Para una distribución normal, la función generadora de momentos es:
M_X(t) = \mathrm{E} \left[ e^{tX} \right] = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} } e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}} e^{tx} \, dx = e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}}
como puede comprobarse al completar el cuadrado en el exponente.

Función característica

La función característica se define como la esperanza de eitX, donde i es la unidad imaginaria. De este modo, la función característica se obtiene reemplazando t por it en la función generadora de momentos.
Para una distribución normal, la función característica es8
\begin{align} \chi_X(t;\mu,\sigma) &{} = M_X(i t) = \mathrm{E} \left[ e^{i t X} \right] \\ &{}= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{- \frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} e^{i t x} \, dx \\ &{}= e^{i \mu t - \frac{\sigma^2 t^2}{2}}. \end{align}

PROPIEDADES.

Algunas propiedades de la distribución normal son:
  1. Es simétrica respecto de su media, μ;
    Distribución de probabilidad alrededor de la media en una distribución N(μ, σ2).
  2. La moda y la mediana son ambas iguales a la media, μ;
  3. Los puntos de inflexión de la curva se dan para x = μ − σ y x = μ + σ.
  4. Distribución de probabilidad en un entorno de la media:
    1. en el intervalo [μ - σ, μ + σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 68,26% de la distribución;
    2. en el intervalo [μ - 2σ, μ + 2σ] se encuentra, aproximadamente, el 95,44% de la distribución;
    3. por su parte, en el intervalo [μ -3σ, μ + 3σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 99,74% de la distribución. Estas propiedades son de gran utilidad para el establecimiento de intervalos de confianza. Por otra parte, el hecho de que prácticamente la totalidad de la distribución se encuentre a tres desviaciones típicas de la media justifica los límites de las tablas empleadas habitualmente en la normal estándar.
  5. Si X ~ N(μ, σ2) y a y b son números reales, entonces (aX + b) ~ N(aμ+b, a2σ2).
  6. Si X ~ N(μx, σx2) e Y ~ N(μy, σy2) son variables aleatorias normales independientes, entonces:
    • Su suma está normalmente distribuida con U = X + Y ~ N(μx + μy, σx2 + σy2) (demostración). Recíprocamente, si dos variables aleatorias independientes tienen una suma normalmente distribuida, deben ser normales (Teorema de Crámer).
    • Su diferencia está normalmente distribuida con V = X - Y \sim N(\mu_X - \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y).
    • Si las varianzas de X e Y son iguales, entonces U y V son independientes entre sí.
    • La divergencia de Kullback-Leibler, D {\rm KL}( X \| Y ) = { 1 \over 2 } \left( \log \left( { \sigma^2_Y \over \sigma^2_X } \right) + \frac{\sigma^2_X}{\sigma^2_Y} + \frac{\left(\mu_Y - \mu_X\right)^2}{\sigma^2_Y} - 1\right).
  7. Si X \sim N(0, \sigma^2_X) e Y \sim N(0, \sigma^2_Y) son variables aleatorias independientes normalmente distribuidas, entonces:
  8. Si X_1, \dots, X_n son variables normales estándar independientes, entonces X_1^2 + \cdots + X_n^2 sigue una distribución χ² con n grados de libertad.
  9. Si X_1,\dots,X_n son variables normales estándar independientes, entonces la media muestral \bar{X}=(X_1+\cdots+X_n)/n y la varianza muestral S^2=((X_1-\bar{X})^2+\cdots+(X_n-\bar{X})^2)/(n-1) son independientes. Esta propiedad caracteriza a las distribuciones normales y contribuye a explicar por qué el test-F no es robusto respecto a la no-normalidad).

Estandarización de variables aleatorias normales

Como consecuencia de la Propiedad 1; es posible relacionar todas las variables aleatorias normales con la distribución normal estándar.
Si X\, ~ N(\mu, \sigma^2)\,, entonces
Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \!
es una variable aleatoria normal estándar: Z\, ~ N(0,1)\,.
La transformación de una distribución X ~ N(μ, σ) en una N(0, 1) se llama normalización, estandarización o tipificación de la variable X.
Una consecuencia importante de esto es que la función de distribución de una distribución normal es, por consiguiente,
\Pr(X \le x) = \Phi \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 + \operatorname{erf} \left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}} \right) \right) .
A la inversa, si Z es una distribución normal estándar, Z ~ N(0,1), entonces
X = \sigma Z + \mu\,
es una variable aleatoria normal tipificada de media \mu\, y varianza \sigma^2\,.
La distribución normal estándar está tabulada (habitualmente en la forma de el valor de la función de distribución Φ) y las otras distribuciones normales pueden obtenerse como transformaciones simples, como se describe más arriba, de la distribución estándar. De este modo se pueden usar los valores tabulados de la función de distribución normal estándar para encontrar valores de la función de distribución de cualquier otra distribución normal.

Momentos

Los primeros momentos de la distribución normal son:
NúmeroMomentoMomento centralCumulante
011
1\mu0\mu
2\mu^2 + \sigma^2\sigma^2\sigma^2
3\mu^3 + 3\mu\sigma^200
4\mu^4 + 6 \mu^2 \sigma^2 + 3 \sigma^43 \sigma^40
5\mu^5 + 10 \mu^3 \sigma^2 + 15 \mu \sigma^400
6\mu^6 + 15 \mu^4 \sigma^2 + 45 \mu^2 \sigma^4 + 15 \sigma^6 15 \sigma^6 0
7\mu^7 + 21 \mu^5 \sigma^2 + 105 \mu^3 \sigma^4 + 105 \mu \sigma^6 00
8\mu^8 + 28 \mu^6 \sigma^2 + 210 \mu^4 \sigma^4 + 420 \mu^2 \sigma^6 + 105 \sigma^8 105 \sigma^8 0
Todos los cumulantes de la distribución normal, más allá del segundo, son cero.

Los momentos centrales de orden superior (2k con μ = 0) vienen dados por la fórmula

E\left[X^{2k}\right]=\frac{(2k)!}{2^k k!} \sigma^{2k}.


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