BLOQUE 4 TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICAS. MATEMÁTICAS FINANCIER

La Matemática Financiera es el campo de la matemáticas aplicada, que analiza, valora y calcula materias relacionadas con los mercados financieros, y especialmente, el valor del dinero en el tiempo. las matemáticas financieras se ocuparán del cálculo del valor, tipo de interés o rentabilidad de los distintos productos que existen en los mercados financieros (depósitos, bonos, préstamos, descuento de papel, valoración de acciones, cálculos sobre seguros, etc). Para presentarlas, se seguirá un proceso secuencial desde lo más sencillo, el tipo de interés simple, hasta los cálculos más complejos, que consistirán en el valor actual o futuro de rentas temporales y/o infinitas. Por tanto, en el estudio de las matemáticas financieras. INTERES SIMPLE En primer lugar debemos tener claro que es el interés en este contexto, que se puede definir como la cantidad (normalmente expresada el porcentaje o tasa) me mide la relación de intercambio entre el valor del dinero en dos momentos determinados de tiempo. Cuando una persona (prestamista) le presta a otra (prestatario) un dinero hoy, espera que en un futuro  el prestatario se lo devuelva, pero que además le de una cantidad adicional en contraprestación, esto es el interés. Que, volvemos a recordar, suele expresarse en porcentaje. Para entender el concepto de interés simple y compuesto, sin duda, la mejor forma es atender a unos ejemplos ( interes compuesto). Supongamos un préstamo de 10.000 durante 1 año que genera un interés anual del 5%. No será lo mismo que esos intereses se paguen en dos veces (cada seis meses), frente a que se paguen de una vez al final. En el primer caso, el prestamista recibirá el dinero en dos veces, primero 250 a los seis meses y después 10.250 al final del año. Por su parte, en el segundo caso, el prestamista recibirá todo el dinero a la vez 10.500 al final del año. Pero donde está la diferencia, pues en que en el primer caso el prestamista podrá invertir esos 250 que cobra previamente y obtener una rentabilidad, por lo que, si suponemos que también los puede invertir a un 5% anual durante los seis meses que quedan, obtendría 250*5%/2=6,25. Por tanto, en el primer caso el prestamista obtendría al final del año 10.000+250+250+6,25=10.506,25. Ese 5% del enunciado del ejemplo será lo que se denomina interés simple, mientras que el interés compuesto será, en este caso, el interés equivalente que se obtiene por el hecho de reinvertir los cobros intermedios. Así, podríamos calcular el interés compuesto con una regla de tres: 10.500 --> 5% 10.506,25 --> X = 5,0625%, ya que el interés simple no es del 5% anual sino del 5% pagadero semestralmente que no es lo mismo. Esta diferencia, que puede parecer pequeña, cuando se considera en operaciones de mucho volumen o mucha duración puede provocar diferencias sustanciales. Fórmula Interés Simple  Interés = Cantidad x Tipo de Interés x Plazo Interés.- Como el importe que se percibirá o pagará en contraprestación Cantidad.- Como el importe sobre el que se pagará o cobrará intereses Tipo de interés.- Como la tasa o porcentaje que se cobrará o pagará si la operación durase un año Plazo.- Como la duración de la operación, expresado en cantidad de años. INTERES COMPUESTO. Al igual que con el interés simple, donde ya pusimos un primer ejemplo. Consideramos que la mejor manera de entender la necesidad y funcionamiento del interés compuesto es mediante un ejemplo. Imaginemos que nos ofrecen la opción de invertir 10.000 en dos depósitos a 3 años. El primer depósito para un 10% te tipo de interés al año y paga esos intereses al final de cada año. Por su parte, el segundo depósito pagará un 10% anual de tipo de interés, pero en lugar de pagar los intereses al final de cada año, los pagará todos al final de los tres años. Si ambos depósitos pagan el mismo tipo de interés, parecería lógico pensar que la ganancia al final debería ser la misma, pero, ¿es realmente así?. Analicemos cada caso. 1- Si cobraremos 1.000 al final de cada año, los intereses del primer año serán 1.000, pero y los del segundo. El segundo año volveremos a cobrar 1.000 provenientes del depósito de 10.000, pero también podremos cobrar intereses de los 1.000 de intereses que ya tenemos en nuestro poder. Si esta cantidad la invertimos también al 10% obtendríamos 100 adicionales por lo que los intereses del segundo año serían 1.100 y no 1.000. Lo mismo sucedería en el tercer año, por un lago cobraríamos los 1.000 del depósito, pero aún nos faltaría por contabilizar los intereses por invertir los intereses de los dos años anteriores que, recordemos, ascendía a 2.100. Así, el 10% de 2.100 serían 210 adicionales. Por tanto, al cabo de los tres años tendríamos 10.000+1.000+1.000+100+1.000+210=13.310. 2- En el caso del segundo depósito, los intereses se pagaban todos al final. Si utilizásemos la formulación del interés simple, la cantidad de intereses sería: 10.000 x 10% x 3 = 3.000 por lo que al final tendríamos 13.000 que es menos que en el caso 1. Para resolver esta diferencia, en aquellas operaciones que generan intereses con una duración superior a un año (como ya mencionamos e el interés simple), el cálculo de intereses utiliza la formulación del interés compuesto que tiene en consideración los intereses  que generan los pagos intermedios. Interés=10.000*(1+10%)3=3.310, que sumados al principal darán los mismos 13.310 que en el caso 1. Fórmula Interés Compuesto Interés = Cantidad x (1 + Tipo de Interés) Plazo -1 Interés.- Como el importe que se percibirá o pagará en contraprestación Cantidad.- Como el importe sobre el que se pagará o cobrará intereses Tipo de interés.- Como la tasa o porcentaje que se cobrará o pagará si la operación durase un año Plazo.- Como la duración de la operación, expresado en cantidad de años. VALOR FUTURO Poseer un dólar o un euro hoy no vale lo mismo que poseerlo dentro de un año. Si dispusiera ahora mismo de él, podría invertirlo, ganar un interés y transcurrido un año usted tendría algo más que un euro.Pero, porque se utiliza el interés compuesto y no el interés simple. Como ya vimos en la explicación del interés compuesto, este tiene en consideración los intereses que generarán los propios intereses intermedios. Esta consideración, es imprescindible para poder diferenciar operaciones con pagos intermedios frente a operaciones que no los tienen. Al calcular el valor futuro de una cantidad, no se producirán pagos intermedios anuales, por lo que deberemos utilizar el interés compuesto. Una sencilla forma de entender porque utilizar uno u otro, es calcular el valor futuro de una misma cantidad utilizando ambos intereses. El valor futuro utilizando el interés simple crecerá linealmente, mientras que el valor futuro calculado utilizando el interés compuesto lo hará de forma creciente y exponencial ya que, la no recepción de pagos intermedios hará que los intereses se calculen, cada año, sobre una cantidad mayor. Fórmula del Valor Futuro VFn = VA x (1+k)n VF.- Valor futuro VA.- Valor presente o actual k.- Tipo de interés n.- plazo, normalmente expresado en años. VALOR PRESENTE Igual que en el apartado anterior obtuvimos el valor futuro de una cantidad presente, a través de calcular cuanto podríamos obtener de ella si la invertíamos hasta una fecha determinada, también podemos obtener el valor presente de una cantidad que esperamos recibir en algún momento del futuro. El cálculo sería a la inversa, si antes añadíamos a la cantidad los intereses generados, en este caso se los descontaremos/quitaremos. Por ejemplo, si vamos a recibir 1.000 dentro de tres años y queremos saber cuanto valen hoy, deberemos descontar los intereses que se generarán desde hoy hasta dentro de tres años. Si el tipo de interés es del 4% anual en operaciones a 3 años, responderemos a la pregunta ¿Qué cantidad debo invertir hoy para tener 1.000 dentro de tres años? En este caso 889, por lo que, si no necesitásemos, podríamos recibir esta cantidad en lugar de los 1.000 dentro de 3 años. Al contrario que en el valor futuro, en este caso a incógnita no el valor futuro VF sino el actual o presente VA. Fórmula valor presente VA = VFn / (1+k)n VF.- Valor futuro VA.- Valor presente o actual k.- Tipo de interés n.- plazo, normalmente expresado en años. Si comparamos con la fórmula del valor futuro, únicamente estamos despejando el valor presente, no siendo una nueva fórmula como tal.

RENTA TEMPORAL

El siguiente paso en la matemáticas financieras, es calcular el valor de una renta. Con objeto de su estudio, distinguiremos dos tres casos por orden de complejidad de sus cálculos, de más complejo a menos complejo: Renta temporal en que las candidades o flujos NO tienen una relación de proporcionalidad (la renta de cada periodo es distinta al anterior y no siguen ningún patrón). Habituales en los flujos esperados del beneficio de una empresa,... Rentas temporales en que las cantidades o flujos SI tienen una relación de proporcionalidad (la renta de cada periodo es igual al anterior o sigue un patrón de crecimiento o decrecimiento). Habituales en los flujos esperados de deuda pública, bonos, depósitos, ... Rentas infinitas en que las cantidades o flujos SI tienen una relación de proporcionalidad (la renta de cada periodo es igual al anterior o sigue un patrón de crecimiento o decrecimiento). Habituales para la valoración inversiones sin vencimiento como acciones, rentas vitalícias, pensiones,... El primer caso, el más genérico, corresponde, como ya hemos avanzado, a una renta de una duración determinada, en que las cantidades percibidas son distintas y sin relación entre ellas. Estas, nos permitirán explicar el concepto y posteriormente relacionarlas con los casos 2 y 3 que son casos específicos de este. Antes de comenzar a analizar cada caso, si debemos precisar que, en estos casos, siempre utilizaremos el interés compuesto. También, debemos señalar que es especialmente importante para evitar errores, y antes de comenzar ningún cálculo, hacer la representación gráfica de los flujos, que consistirá en hacer una linea en la que indicaremos en que momento temporal se percibe cada cantidad. Esta herramienta nos permitirá asegurarnos cuantos periodos debemos descontar cada una de las cantidades. Siguiendo la imagen de la derecha, imaginemos una renta de las cantidades Q1, Q2, Q3,... que se cobran al final de cada periodo, 1, 2, 3,... El valor presente de esa renta temporal, consistirá simplemente en calcular el valor presente de cada una de las cantidades que componen la renta, tal y como representa la fórmula. A partir de este sencillo ejemplo, podremos construir casos más complejos donde las cantidades tampoco sigan un patrón temporal,sino que se cobren en distintos momentos del tiempo, pero la base seguirá siendo la misma; el valor presente de las cantidades que componen la renta. Un ejemplo sería esta segunda imagen, donde los flujos no se producen al final de cada periodo, sino que se producen, Q1 a la mitad del primer periodo, Q2 entre el 2º y el 3º y Q3 al final del 3º. Además, se podría seguir complicando, considerando que el tipo de interés anual es distinto para cada cantidad, ya que no es lo mismo una operación aun año que a tres años (si por un depósito a 1 año pedimos un 5% anual, para un depósito a 3 años normalmente pediremos más de un 5% anual). Como vemos, la parte más importante para el cálculo del valor de una renta, es comprender el momento temporal en que cada cantidad se produce, que es la base para conocer por cuanto tiempo deberemos retraerlo hasta el momento presente. Fórmula renta temporal Teniendo en cuenta el caso más genérico, podría expresarse como sigue: donde VA.- Valor actual o presente de la renta considerada Q1, Q2, Q3,... serían las cantidades que componen la renta n1, n2, n3,... serían el momento temporal en que se recibe cada cantidad de la renta k1, k2, k3,... serían los tipos de interés para cada periodo Además de los casos expuestos, donde hemos calculado el valor actual o presente, puede ser necesario el cálculo del valor futuro, como sería el caso del valor futuro de un plan de ahorro, por ejemplo, al que aportamos una cantidad mensual, trimestral o anual, que nos permitirá conocer que cantidad tendremos al final/vencimiento del producto. En este caso, en lugar de dividir cada flujo por el interés compuesto hasta el momento presente, únicamente deberemos multiplicar por ese interés compuesto hasta el momento futuro que deseemos. RENTA INFINITA Este, es el último caso particular de rentas que analizaremos, y consiste en una renta que cobraremos por duración infinita (un buen ejemplo serían las pensiones de jubilación, pero también productos comercializados por las aseguradoras aunque menos conocidos). En este caso, también distinguiremos entre renta constante y creciente (por ejemplo rentas actualizadas con la inflación). Para el caso de las rentas constantes nos encontraríamos en la figura de la derecha. Al ser infinitos periodos, y sustituyendo en la misma fórmula que utilizamos para las rentas temporales constantes, tendríamos que (1+k)∞ =0 lo que nos daría la expresión final. En el segundo caso, en el que las rentas crecen siguiendo una proporción g, sucedería algo similar, desapareciendo la mayor parte del numerador, tal y como se puede apreciar en la figura de la derecha. Por último, señalar también que, al igual que en las rentas temporales, no siempre las rentas se producen al final de cada periodo, sino que estas pueden producirse al principio de cada uno. En este caso, el valor actual/presente calculado con las fórmulas anteriores sería el valor calculado en el momento 1, no en el momento 0, por lo que únicamente deberíamos multiplicar el valor actual, así calculado, por (1+k) para anticipar un periodo toda la cantidad.